IMO 2007 - Problema 4

En un triángulo ABC la bisectriz del àngulo BCA corta a la circunferencia circunscrita en R (R ǂ C), a la mediatriz de BC en P y a la mediatriz de AC en Q. El punto medio de BC es K y el punto medio de AC es L. Demostrar que los triángulos RPK y RQL tienen áreas iguales.

Denotemos con O el circuncentro del triángulo ABC.

Si |AC| = |BC| entonces la bisectriz de <)BCA es al mismo tiempo mediatriz del segmento AB. Por tanto los puntos de intercepción de esta recta con las mediatrices de AC y BC (Q y P respectivamente) coinciden ambos con O. En este caso la recta CR sería eje de simetría de dicho triangulo y K sería la imágen de L con respecto a CR, al ser ambos puntos medios de segmentos relacionados mediante esta transformación (CA y CB). Como O y R se encuentran sobre el eje de simetría, entonces los triángulos LOR y KOR son imágenes al aplicar esta transformación. De aquí se deduce que tengan áreas iguales.

En el caso cuando |AC| ǂ |BC| sin pérdida de generalidad se puede suponer que |AC| > |BC|. Entonces:

I <)LCR = <)BCR (CR bisectriz de <)ACB)

II <)CLQ = <)CKP = 90˚ (LQ y KP mediatrices de AC y BC respectivamente)

III <)LQC = 90˚ - <)LCR = 90˚ - KCR = <)CPK (por I y II)

IV <)OPQ = <)CPK (opuestos por el vértice P)

V <)LQC = <)OQP (O, L, Q alineados al igual que P, Q y C)

VI <)OPQ = <)CPK = <)LQC = <)OQP (según IV, III y V)

VII |OQ| = |OP| (porque triángulo OPQ es isósceles de base PQ por VI)

VIII <)OPC = 180˚ - <)OPK (ángulos adyacentes)

<)OPC = 180˚ - (90˚ - <)PCK) = 90˚ + <)PCK

IX <)OPC > 90˚

X |OC| > |OP| (porque a mayor ángulo se opone mayor lado en triángulo OPC)

XI Los puntos P y Q sin interiores a la circunferencia (se deduce de VII y X)

XII |PC| |PR| = |OC|² - |OP|² (potencia del punto P)

XIII |QC| |QR| = |OC|² - |OQ|² (potencia del punto Q)

XIV |PC| |PR| = |QC| |QR| (se deduce de VII, XII y XIII)

XV triángulo LQC ~ triángulo KPC (por I y III)

XVI |RQ| / |RP| = |PC| / |CQ| = |KP| / |LQ| (por XIV y XV)

XVII |RQ| |LQ| = |RP| |KP| (despejando en XVI)

XVIII <)LQR = <)OQR = 180˚ - <)OQP (L, O y Q están alineados y los ángulos son ayacentes sobre CR)

XIX <)KPR = 180˚ - <)KPC (ángulos adyacentes)

XX <)KPR = <)LQR (por XVIII, XIX y VI)

LQQD Area(LQR) = 0.5 |LQ| |QR| sen <)LQR = 0.5 |RP| |PK| sen <)KPR = Area(KPR)